一、定积分的概念和基本思想

1、定积分的概念

一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0___x_1___$$cdots___$$x_{i-1}___x_i___$$cdots___$$x_n=b$将区间$[a,b]$等分成$n$个小区间，在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上任取一点$ξ_i(i=1,2,cdots,n)$，作和式$underset{i=1}{overset{n}{sum}}f(ξ_i)Δx=$$underset{i=1}{overset{n}{sum}}frac{b-a}{n}f(ξ_i)$，当$n→∞$时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$int_{a}^{b}f(x){ m d}x$，即$int_{a}^{b}f(x){ m d}x=$$underset{n→∞}{lim}underset{i=1}{overset{n}{sum}}frac{b-a}{n}f(ξ_i)$，这里，$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量，$f(x){ m d}x$叫做被积式。

定积分$int_{a}^{b}f(x){ m d}x$不是一个函数式，而是一个数值，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$int_{a}^{b}f(x){ m d}x=$$int_{a}^{b}f(t){ m d}t=$$int_{a}^{b}f(u){ m d}u$。

定义中区间的分法和$ξ_i$的取法是任意的。

2、定积分的基本思想

定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的面积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。

即：分割$→$近似代替$→$求和$→$取极限。

3、定积分的性质

$int_{a}^{b}1{ m d}x=b-a$；

$int_{a}^{b}kf(x){ m d}x=$$kint_{a}^{b}f(x){ m d}x$；

$int_{a}^{b}[f_1(x)±f_2(x)]{ m d}x=$$int_{a}^{b}f_1(x){ m d}x±$$int_{a}^{b}f_2(x){ m d}x$；

$int_{a}^{b}f(x){ m d}x=$$int_{a}^{c}f(x){ m d}x+$$int_{c}^{b}f(x){ m d}x$。

求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数的解析式，然后根据定积分的性质4进行计算。

4、定积分的几何意义

如果在区间$[a,b]$上函数$f(x)$连续且恒有$f(x)geqslant0$，那么定积分$int_{a}^{b}f(x){ m d}x$表示由直线$x=a$，$x=b$，$y$=0和曲线$y=f(x)$所围成的曲边梯形的面积。

注：定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0。

当对应的曲边梯形位于$x$轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积。

当对应的曲边梯形位于$x$轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数。

当位于$x$轴上方的曲边梯形的面积等于位于$x$轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于$x$轴上方的曲边梯形的面积减去位于$x$轴下方的曲边梯形的面积。

5、定积分的物理意义

变速直线运动

如果做变速直线运动的物体的速度$v$关于时间$t$的函数是$v=v(t)(v(t)geqslant0)$，那么物体从时刻$t=a$到$t=b$所经过的路程$s=$$int_{a}^{b}v(t){ m d}x$；

如果做变速直线运动的物体的速度$v$关于时间$t$的函数是$v=v(t)(v(t)leqslant0)$，那么物体从时刻$t=a$到$t=b$所经过的路程$s=$$-int_{a}^{b}v(t){ m d}x$；

变力做功

物体在变力$F(x)$的作用下做直线运动，并且物体沿着与力$F(x)$相同的方向从$x=a$移动到$x=b(a___b)$，则变力$F(x)$所做的功$W=$$int_{a}^{b}F(x){ m d}x$。

二、定积分的概念的相关例题

设$f(x)=egin{cases}sqrt{1-x^2},x∈[-1,1),\x^2-1,x∈[1,2],end{cases}$则$int_{-1}^{2}f(x){ m d}x$的值为___

A．$frac{π}{2}+frac{4}{3}$ B．$frac{π}{2}+3$

C．$frac{π}{4}+frac{4}{3}$ D．$frac{π}{4}+3$

答案：A

解析：根据定积分性质可得$int_{-1}^{2}f(x){ m d}x=$$int_{-1}^{1}sqrt{1-x^2}{ m d}x+$$int_{1}^{2}({x^2-1) m d}x$，根据定积分的几何意义可知，$int_{-1}^{1}sqrt{1-x^2}{ m d}x$是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的一半，∴$int_{-1}^{1}sqrt{1-x^2}{ m d}x=frac{π}{2}$，∴$int_{-1}^{2}f(x){ m d}x=$$frac{π}{2}+left(frac{1}{3}x^3-x ight)Big|^2_1=$$frac{π}{2}+frac{4}{3}$，故选A。