一、裂项相消法的定义和常见的裂项公式

1、裂项相消法

把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的。

2、常见的裂项公式：

若${a_n}$是等差数列，则$frac{1}{a_na_{n+1}}=$$frac{1}{d}·left(frac{1}{a_n}-frac{1}{a_{n+1}} ight)$，$frac{1}{a_n·a_{n+2}}=$$frac{1}{2d}left(frac{1}{a_n}-frac{1}{a_{n+2}} ight)$。

$frac{1}{n(n+1)}=frac{1}{n}-frac{1}{n+1}$。

$frac{1}{n(n+k)}=frac{1}{k}left(frac{1}{n}-frac{1}{n+k} ight)$。

$frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=$$frac{1}{2}left(frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} ight)$。

$frac{1}{n(n+1)(n+2)}=$$frac{1}{2}left[frac{1}{n(n+1)}-frac{1}{(n+1)(n+2)} ight]$。

$frac{1}{sqrt{n}+sqrt{n+1}}=$$sqrt{n+1}-sqrt{n}$。

$frac{1}{sqrt{n}+sqrt{n+k}}=$$frac{1}{k}(sqrt{n+k}-sqrt{n})$。

注：抵消后的项数并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能剩下第一项和倒数第二项。通过裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等。

二、裂项相消法的例题

等差数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，$a_3=3$，$S_4=10$，则$underset{k=1}{overset{n}{sum}}frac{1}{S_k}=$____

A．$frac{n}{n+1}$ B．$frac{2n}{n+1}$

C．$frac{3n}{n+1}$ D．$frac{4n}{n+1}$

答案：B

解析：设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，由题意有：$egin{cases}a_1+2d=3,\4a_1+frac{4×3}{2}d=10,end{cases}$

解得$egin{cases}a_1=1,\d=1,end{cases}$

数列的前$n$项和$S_n=$$na_1+$$frac{n(n-1)}{2}d=$$n×1+$$frac{n(n-1)}{2}×$$1=$$frac{n(n+1)}{2}$，$frac{1}{S_k}=$$frac{2}{k(k+1)}=$$2left(frac{1}{k}-frac{1}{k+1} ight)$，所以$underset{k=1}{overset{n}{sum}}frac{1}{S_k}=$$2Big[left(1-frac{1}{2} ight)+$$left(frac{1}{2}-frac{1}{3} ight)+$$cdots+$$left(frac{1}{n}-frac{1}{n+1} ight)Big]=$$2left(1-frac{1}{n+1} ight)=$$frac{2n}{n+1}$。