一、错位相减法的应用和具体操作过程

1、错位相减法

若数列${a_n}$是等差数列，数列${b_n}$是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为${a_nb_n}$，求数列${a_nb_n}$的前$n$项和时，常常采用错位相减法求和。即将数列${a_nb_n}$的各项乘以公比$q$，并项后错位一项与${a_nb_n}$的同次项对应相减，从而将问题转化为特殊数列的求和问题。

2、错位相减法的具体操作过程如下：

设${a_n}$的公差为$d$，${b_n}$的公比为$q(q≠1)$。

$S_n=a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n$，$qS_n=a_1b_2+a_2b_3+cdots+a_{n-1}b_n+a_nb_{n+1}

$，

两式相减，得

$(1-q)S_n=a_1b_1+b_2d+cdots+b_nd-a_nb_{n+1}=$$a_1b_1+d(b_2+b_3+cdots+b_n)-a_nb_{n+1}

$，所以$S_n=frac{a_1b_1+d(b_2+b_3+cdots+b_n)-a_nb_{n+1}}{1-q}$。

需要注意的是$b_2+b_3+cdots+b_n$是以$b_2$为首项，$q$为公比的等比数列的前$n-1$项和。

注：识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形。

在写出“$S_n$”与“$qS_n$”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“$S_n-qS_n$”的表达式。

在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。

二、错位相减法的相关例题

已知数列${a_n}$满足$a_1+2a_2+3a_3+cdots+na_n=$$(2n-1)·3^n$。设$b_n=frac{4n}{a_n}$，$S_n$为数列${b_n}$的前$n$项和。若$S_n___λ$，$n∈mathbf{N}^*$，则$lambda$的最小值是___

A．$frac{3}{2}$ B．$frac{9}{4}$ C．$frac{31}{12}$ D．$frac{31}{18}$

答案：C

解析：本题考查数列通项公式的求法和数列的前$n$项和。

$∵a_1+2a_2+3a_3+cdots+na_n=$$(2n-1)·3^n$ ①，∴当$ngeqslant2$时，$a_1+2a_2+3a_3+cdots+(n-1)a_{n-1}=$$(2n-3)·3^{n-1}$ ②，由①-②得$na_n =4n·3^{n-1}$，即$a_n=4·3^{n-1}$。当$n=1$时，$a_1=3$，$∴a_n=egin{cases}3,quadquad n=1,\4·3^{n-1},ngeqslant2,end{cases}$$b_n=egin{cases}frac{4}{3},quad n=1,\frac{n}{3^{n-1}},ngeqslant2,end{cases}$

$S_n=frac{4}{3}+frac{2}{3}+frac{3}{3^2}+cdots+frac{n}{3^{n-1}}=$$frac{1}{3}+frac{1}{3^0}+frac{2}{3}+frac{3}{3^2}+cdots+frac{n}{3^{n-1}}$ ③，$frac{1}{3}S_n=frac{1}{9}+frac{1}{3}+frac{2}{3^2}+frac{3}{3^3}+cdots+frac{n-1}{3^{n-1}}+frac{n}{3^n}$ ④，③-④得

$frac{2}{3}S_n=frac{2}{9}+frac{1}{3^0}+frac{1}{3}+frac{1}{3^2}+frac{1}{3^3}+cdots+frac{1}{3^{n-1}}-frac{n}{3^n}=$$frac{2}{9}+frac{1-frac{1}{3^n}}{1-frac{1}{3}}-frac{n}{3^n}$，∴$S_n=frac{31}{12}-frac{6n+9}{4·3^n}___frac{31}{12}$，

∴$λ$的最小值是$frac{31}{12}$，故选C。