一、充要条件的定义和判定方法

1、定义

充分不必要条件：一般地，如果有$pRightarrow q$且$q Rightarrow p$，此时，我们说$p$是$q$的充分不必要条件。

必要不充分条件：一般地，如果有$p Rightarrow q$且$qRightarrow p$，此时，我们说$p$是$q$的必要不充分条件

充要条件：一般地，如果既有$pRightarrow q$，又有$qRightarrow p$，就记作$pLeftrightarrow q$。此时，我们说$p$是$q$的充分必要条件，简称充要条件。显然，如果$p$是$q$的充要条件，那么$q$也是$p$的充要条件。概括地说，如果$pLeftrightarrow q$，那么$p$与$q$互为充要条件。

2、充分条件与必要条件的传递性

若$p$是$q$的充分条件，$q$是$s$的充分条件，即$pRightarrow q$，$qRightarrow s$，则有$pRightarrow s$，即$p$是$s$的充分条件。

若$p$是$q$的必要条件，$q$是$s$的必要条件，即$qRightarrow p$，$sRightarrow q$，则有$sRightarrow p$，即$p$是$s$的必要条件。

若$p$是$q$的充要条件，$q$是$s$的充要条件，即$pLeftrightarrow q$，$qLeftrightarrow s$，即$p$是$s$的充要条件。

3、充分、必要条件的判定方法

定义法

① 认清$p$与$q$；

② 找推式：判断是否有$“pRightarrow q”“qRightarrow p”$；

③ 根据推式找出结论。

集合法

写出集合$A={x|p(x)}$及$B={x|q(x)}$，利用集合间的包含关系进行判断。

用命题的等价性判断

利用$pRightarrow q$与$lnot qRightarrow lnot p$，$q Rightarrow p$与$lnot pRightarrow lnot q$，$p Leftrightarrow q$与$lnot pLeftrightarrow lnot q$的等价关系判断，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法。

利用传递性判断

对于较复杂关系，常利用$Rightarrow$，$ Leftarrow$，$Leftrightarrow$，$ Rightarrow$等符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论。

二、充要条件的相关例题

设点$A，B，C$不共线，则“$overrightarrow{AB}$与$overrightarrow{AC}$的夹角为锐角”是$“|overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}|___|overrightarrow{BC}|”$的___

Ａ．充分而不必要条件

Ｂ．必要而不充分条件

Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

答案：C

解析：设向量$overrightarrow{AB}$与$overrightarrow{AC}$的夹角为$θ$，则不等式$|overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}|___|overrightarrow{BC}|$，等价于$|overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}|___|overrightarrow{AC}-overrightarrow{AB}|$，等价于$|overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}|^2___|overrightarrow{AC}-overrightarrow{AB}|^2$，等价于$4overrightarrow{AB}·overrightarrow{AC}___0$，即$4|overrightarrow{AB}||overrightarrow{AC}|·cosθ___0$，等价于$cosθ___0$，由点$A$，$B$，$C$不共线，知$cosθ___0$等价于$θ∈left(0，frac{π}{2} ight)$，所以“$overrightarrow{AB}$与$overrightarrow{AC}$的夹角为锐角”是“$|overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}|___|overrightarrow{BC}|$”成立的充分必要条件，故选C。