一、比较不等式大小的方法和不等式的基本性质

1、不等式的基本性质

对称性：$a___bLeftrightarrow b___a$，$a___bLeftrightarrow b___a$。

传递性：$a___b$，$b___cRightarrow a___c$；$c___b$，$b___aRightarrow c___a$。

可加性：$a___bLeftrightarrow a+c___b+c$。

推论：$a+b___cLeftrightarrow a___c-b$。

同向可加性：$a___b$，$c___dRightarrow a+c___b+d$。

可乘性：$a___b$，$c___0Rightarrow ac___bc$。

同向同正可乘性：$a___b___0$，$c___d___0Rightarrow ac___bd$。

可乘方性：$a___b___0Rightarrow a^n___b^n(n∈mathbf{N},n≥1)$。

可开方性：$a___b___0Rightarrow sqrt[n]{a}___sqrt[n]{b}$。

2、不等式的其他性质

倒数性质

① $a___b，ab___0Rightarrow frac{1}{a}___frac{1}{b}$；

② $a___0___bRightarrow frac{1}{a}___frac{1}{b}$；

③ $a___b___0，0___c___dLeftrightarrow frac{a}{c}___frac{b}{d}$。

分数性质

若$a___b___0，m___0$，则

① 真分数性质：$frac{b}{a}___frac{b+m}{a+m}$；$frac{b}{a}___frac{b-m}{a-m}(b-m___0)$。

② 假分数性质：$frac{a}{b}___frac{a+m}{b+m}$；$frac{a}{b}___frac{a-m}{b-m}(b-m___0)$。

3、比较不等式大小的方法

作差法

$a-b___0Leftrightarrow a___b$；

$a-b___0Leftrightarrow a___b$；

$a-b=0Leftrightarrow a=b$。

作商法

$b___0$时，$frac{a}{b}___1Leftrightarrow a___b$，$frac{a}{b}=1Leftrightarrow a=b$，$frac{a}{b}___1Leftrightarrow a___b$；

$b___0$时，$frac{a}{b}___1Leftrightarrow a___b$，$frac{a}{b}=1Leftrightarrow a=b$，$frac{a}{b}___1Leftrightarrow a___b$。

函数性质法

利用指数函数$y=a^x$、对数函数的$y=log^x_a$的单调性：$a___1$时单调递增；$0___a___1$时单调递减。

二、比较不等式大小的方法的相关例题

已知$a，b$为正实数，则下列关于$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}$与$sqrt{a}+sqrt{b}$的大小比较正确的是

A．$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}___sqrt{a}+sqrt{b}$

B．$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}___sqrt{a}+sqrt{b}$

C．$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}≥sqrt{a}+sqrt{b}$

D．$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}≤sqrt{a}+sqrt{b}$

答案：C

解析：解法一：：

$left(frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}} ight)-(sqrt{a}+sqrt{b})=$$left( frac{a}{sqrt{b}}-sqrt{b} ight)+left( frac{b}{sqrt{a}}-sqrt{a} ight)=$$frac{a-b}{sqrt{b}}+frac{b-a}{sqrt{a}}=$$frac{(a-b)(sqrt{a}-sqrt{b})}{sqrt{ab}}=$$frac{(sqrt{a}+sqrt{b})(sqrt{a}-sqrt{b})^2}{sqrt{ab}}$。

$∵a，b$为正实数，$∴frac{(sqrt{a}+sqrt{b})(sqrt{a}-sqrt{b})^2}{sqrt{ab}}≥0$，$∴frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}≥sqrt{a}+sqrt{b}$。

解法二：：$frac{frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}}{sqrt{a}+sqrt{b}}=$$frac{asqrt{a}+bsqrt{b}}{sqrt{ab}(sqrt{a}+sqrt{b})}=$$frac{(sqrt{a})^3+(sqrt{b})^3}{sqrt{ab}}=$$frac{a+b-sqrt{ab}}{sqrt{ab}}=$$1+frac{^2}{sqrt{ab}}≥1$。

$∵a___0，b___0$，$∴frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}___0$，$sqrt{a}+sqrt{b}___0$，$∴frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}≥sqrt{a}+sqrt{b}$。

解法三：：

$left( frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}} ight)^2=$$frac{a^2}{b}+frac{b^2}{a}+2sqrt{ab}，^2=$$a+b+2sqrt{ab}$，

$∴left( frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}} ight)^2-(sqrt{a}+sqrt{b})^2=$$frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}$。

$∵a___0$，$b___0$，$∴frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}≥0$，

又$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}___0$，$sqrt{a}+sqrt{b}___0$，故$frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}≥sqrt{a}+sqrt{b}$。