一、平面向量数量积的几何意义和定义

1、平面向量的数量积

已知两个非零向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$，我们把数量$|oldsymbol a||oldsymbol b|·cos θ$叫做$oldsymbol a$与$oldsymbol b$的数量积，记作$oldsymbol a·oldsymbol b$，即$oldsymbol a·oldsymbol b$=$|oldsymbol a||oldsymbol b|·cos θ$，其中$θ$是$oldsymbol a$与$oldsymbol b$的夹角。

两个向量夹角的取值范围是$left lfloor0°，180° ight floor$，零向量与任一向量的数量积为0。

2、数量积的几何意义

数量积$oldsymbol a·oldsymbol b$等于$oldsymbol a$的长度$|oldsymbol a|$与$oldsymbol b$在$oldsymbol a$的方向上的投影$|oldsymbol b|cos θ$的乘积。

注：①投影和两个向量的数量积都是数量，不是向量。当$θ$为锐角时投影为正值；当$θ$为钝角时投影为负值；当$θ$为直角时投影为0；当$θ=0°$时投影为$oldsymbol b$；当$θ=180°$时投影为$-|oldsymbol b|$。

②$oldsymbol b$在$oldsymbol a$方向上的投影可以记为$|oldsymbol b|cos θ$，也可记为$frac{oldsymbol a·oldsymbol b}{|oldsymbol a|}$。

二、平面向量数量积的几何意义的相关例题

已知非零向量$oldsymbol a，oldsymbol b$满足$|oldsymbol a|=2|oldsymbol b|$，且$(oldsymbol a-oldsymbol b)⊥oldsymbol b$，则$oldsymbol a$与$oldsymbol b$的夹角为____

A．$frac{π}{6}$

B．$frac{π}{3}$

C．$frac{2π}{3}$

D．$frac{5π}{6}$

答案：B

解析：由$(oldsymbol a-oldsymbol b)⊥oldsymbol b$，得$(oldsymbol a-oldsymbol b)·oldsymbol b$=0，所以$oldsymbol a·oldsymbol b=oldsymbol b^2$，所以$cos left langle oldsymbol a,oldsymbol b ight angle=frac{oldsymbol a·oldsymbol b}{|oldsymbol a|·|oldsymbol b|}=frac{|b^2|}{2|oldsymbol b|^2}=frac{1}{2}$，所以$oldsymbol a$与$oldsymbol b$的夹角为$frac{π}{3}$，故选B。