一、抛物线的定义和方程

1、抛物线的定义

平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点$F$叫做抛物线的焦点，直线$l$叫做抛物线的准线。

设$M$是抛物线上任意一点，$F$是抛物线的焦点，点$M$到$l$的距离为$d$，由抛物线的定义知，抛物线就是集合$P={ M||MF|=d}$。

注：抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为$M$；一个定点$F$；一条定直线$l$；一个定值1。

2、抛物线的方程

中心在坐标原点，焦点在$x$轴上的抛物线的标准方程是$y^2=2px(p___0)$；

中心在坐标原点，焦点在$y$轴上的抛物线的标准方程是$x^2=2py(p___0)$。

3、抛物线的几何性质

若抛物线方程为$y^2=2px(p___0)$，则

对称轴为$x$轴，焦点坐标$left( frac{p}{2},0 ight)$，准线方程为$x=-frac{p}{2}$，离心率$e$=1，焦准距为$p，$通径长为2$p$。

注：离心率：抛物线上的点$M$到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用$e$表示。由定义可知，$e$=1。

焦准距：抛物线的焦点到它的准线的距离，叫做焦准距。

抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，距离的最小值为$frac{p}{2}$。

4、点与抛物线的位置关系

对于抛物线$y^2=2px(p___0)$，我们有

点$P(x_0,y_0)$在抛物线内部$Leftrightarrow y^2_0___2px_0$；

点$P(x_0,y_0)$在抛物线外部$Leftrightarrow y^2_0___2px_0$；

点$P(x_0,y_0)$在抛物线上$Leftrightarrow y^2_0=2px_0$。

二、抛物线的相关例题

设$O$为坐标原点，直线$x$=2与抛物线$C：y^2=2px(p___0)$交于$D$，$E$两点，若$OD⊥OE$，则$C$的焦点坐标为___

A．$left( frac{1}{4},0 ight)$

B．$left( frac{1}{2},0 ight)$

C．(1，0)

D．(2，0)

答案：B

解析：由题意得$D(2，2sqrt{p})$，$E(2，-2sqrt{p})$，

所以$overrightarrow{O D}·overrightarrow{O E}$=4-4$p$=0，解得$p$=1，所以焦点坐标为$left( frac{1}{2},0 ight)$，故选B。