一、空间向量的定义和基本定理
1、空间向量
与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
2、空间向量基本定理
共线向量定理
定理：对空间任意两个向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$($oldsymbol b$≠0），$oldsymbol a∥oldsymbol b$的充要条件是存在实数$lambda$，使$oldsymbol a$=$λoldsymbol b$。
推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$oldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$overrightarrow{O P}=overrightarrow{O A}+toldsymbol alpha$①。
其中向量$oldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。
在$l$上取$overrightarrow{A B}=oldsymbol a$，则①式可化为$overrightarrow{O P}=overrightarrow{O A}+toverrightarrow{A B}$或$overrightarrow{O P}=(1-t)overrightarrow{O A}+toverrightarrow{O B}$②。
当$t=frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$overrightarrow{O P}=frac{1}{2}(overrightarrow{O A}+overrightarrow{O B})$③。
①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。
共面向量定理
定理：如果两个向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$不共线，那么向量$oldsymbol p$与向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使$oldsymbol p$=$xoldsymbol a$+$yoldsymbol b$。
推论1：空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是存在有序实数对，使$overrightarrow{M P}=xoverrightarrow{M A}+yoverrightarrow{M B}$。
推论2：空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是存在有序实数组${ x,y,z}$，对空间任一点$O$，有$overrightarrow{O P}=xoverrightarrow{O A}+yoverrightarrow{O B}+zoverrightarrow{O M}$，其中$x$+$y$+$z$=1。
空间向量基本定理
定理：如果三个向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$不共面，那么对空间任一向量$oldsymbol p$，存在有序实数组${ x,y,z}$，使得$oldsymbol p$=$xoldsymbol a$+$yoldsymbol b$+$zoldsymbol c$。
其中${ oldsymbol a,oldsymbol b,oldsymbol c}$叫做空间的一个基底，$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$都叫做基向量。
推论：设$O$，$A$，$B$，$C$是不共面的四点，则对空间任一点$P$，都存在唯一的有序实数组${ x,y,z}$，使得$overrightarrow{O P}=xoverrightarrow{O A}+yoverrightarrow{O B}+zoverrightarrow{O C}$。
3、空间向量的数量积
已知空间两个非零向量$oldsymbol a$和$oldsymbol b$，则$|oldsymbol a||oldsymbol b|cos left langle oldsymbol a,oldsymbol b ight angle$叫做$oldsymbol a，oldsymbol b$的数量积，记作$oldsymbol a·oldsymbol b$，即$oldsymbol a·oldsymbol b=|oldsymbol a||oldsymbol b|cosleft langle oldsymbol a,oldsymbol b ight angle$。
注：两个向量的数量积是一个数，而不是向量，其值的符号由夹角的余弦值符号确定。
向量的数量积$oldsymbol a·oldsymbol b$不能表示为$oldsymbol a×oldsymbol b$或$oldsymbol aoldsymbol b$。
运用向量的数量积解题时，要注意两向量夹角的范围是$left lceil 0,pi ight ceil$。
4、向量数量积的性质
$|oldsymbol a|^2=oldsymbol a·oldsymbol a=oldsymbol a^2Rightarrow|oldsymbol a|=sqrt{oldsymbol a^2}$。
$oldsymbol a⊥oldsymbol bLeftrightarrowoldsymbol a·oldsymbol b=0$。
$cos left langle oldsymbol a,oldsymbol b ight angle=frac{oldsymbol a·oldsymbol b}{|oldsymbol a||oldsymbol b|}$。
对任意向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，总有$|oldsymbol a·oldsymbol b|≤|oldsymbol a||oldsymbol b|$，并且只有$oldsymbol a$∥$oldsymbol b$时，等号成立。
5、向量数量积的运算律
$·oldsymbol b=λ$。
$oldsymbol a·oldsymbol b=oldsymbol b·oldsymbol a$。
$oldsymbol a·(oldsymbol b+oldsymbol c)=oldsymbol a·oldsymbol b+oldsymbol a·oldsymbol c$。
6、向量数量积满足的乘法公式
$(oldsymbol a+oldsymbol b)·(oldsymbol a-oldsymbol b)=oldsymbol a^2-oldsymbol b^2=|oldsymbol a|^2-|oldsymbol b|^2$。
$(oldsymbol a+oldsymbol b)^2=|oldsymbol a|^2+2oldsymbol a·oldsymbol b+|oldsymbol b|^2$。
$(oldsymbol a-oldsymbol b)^2=|oldsymbol a|^2-2oldsymbol a·oldsymbol b+|oldsymbol b|^2$。
$|oldsymbol a-oldsymbol b|^2+|oldsymbol a+oldsymbol b|^2=2|oldsymbol a|^2+2|oldsymbol b|^2$。
7、空间向量的坐标运算
设$oldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$oldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，则
$oldsymbol a+oldsymbol b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。
$oldsymbol a-oldsymbol b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。
$oldsymbol a·oldsymbol b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
$|oldsymbol a|=sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。
$λoldsymbol a=(λx_1,λy_1,λz_1)$。
二、空间向量的相关例题
下列说法错误的是___
A.设$oldsymbol a$，$oldsymbol b$是两个空间向量,则$oldsymbol a$，$oldsymbol b$一定共面
B.设$oldsymbol a$，$oldsymbol b$是两个空间向量，则$oldsymbol a·oldsymbol b$= $oldsymbol b·oldsymbol a$
C.设$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$是三个空间向量，则$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$一定不共面
D.设$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$是三个空间向量，则$oldsymbol a(oldsymbol b+oldsymbol c$)=$oldsymbol aoldsymbol b+oldsymbol aoldsymbol c$
答案：C
解析：A，设$oldsymbol a$，$oldsymbol b$是两个空间向量，则$oldsymbol a$，$oldsymbol b$一定共面，正确，因为向量可以平移；B，设$oldsymbol a$，$oldsymbol b$是两个空间向量，则$oldsymbol a·oldsymbol b$=$oldsymbol b·oldsymbol a$ ，正确，因为向量的数量积满足交换律；C，设$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$是三个空间向量，则$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$可能共面，可能不共面，故C错误；D，设$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$是三个空间向量，则$oldsymbol a(oldsymbol b+oldsymbol c)=oldsymbol aoldsymbol b+oldsymbol aoldsymbol c$，正确，因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律。故选C。
