一、柯西不等式的定理和应用技巧

1、二维形式的柯西不等式

定理1：若$a,b,c,d$都是实数，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2$，当且仅当时，$ad=bc$时等号成立。

定理2：设$oldsymbol alpha,oldsymbol eta$是两个向量，则$|oldsymbol alpha·oldsymbol eta|≤|oldsymbol alpha||oldsymbol eta|$，当且仅当$oldsymbol eta$是零向量，或存在实数$k$，使$oldsymbol alpha=koldsymbol eta$时，等号成立。

定理3：设$x_1,y_1,x_2,y_2in mathbf{R}$，那么$sqrt{x^2_1+y^2_1}+sqrt{x^2_2+y^2_2}$$geqslant$$sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。

在定理3中，用$x_1-x_3$代$x_1$，用$y_1-y_3$代$y_1$，用$x_2-x_3$代$x_2$，用$y_2-y_3$代$y_2$可得平面三角不等式：$sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$+$sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$≥$sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。

2、一般形式的柯西不等式

定理：设$a_1,a_2,a_3,cdots,a_n,b_1,b_2,b_3,cdots,b_n$是实数，则$(a^2_1+a^2_2+cdots+a^2_n)(b^2_1+b^2_2+cdots+b^2_n)$≥$(a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n)^2$，当且仅当$b_i=0(i=1,2,cdots,n)$或存在一个数$k$，使得$a_i=kb_i(i=1,2,cdots,n)$时，等号成立。

3、柯西不等式的应用技巧

柯西不等式的主要应用是证明不等式和求最值，利用柯西不等式证明不等式时，先使用拆项、重组、填项等方法技巧构造符合柯西不等式的应用条件，再处理；利用柯西不等式求最值时，一定要注意验证等号成立的条件。

构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数，可以重新安排各项的次序，可以填项，也可以改变式子的结构。

二、柯西不等式的相关例题

设$a,b,m,n∈mathbf{R}$,且$a^2+b^2=5,ma+nb=5$，则$sqrt{m^2+n^2}$的最小值为___

A．$sqrt{5}$ B．$sqrt{6}$ C．$sqrt{3}$ D．2$sqrt{2}$

答案：A

解析：因为$a^2+b^2=5,ma+nb=5$，所以由柯西不等式得$(a^2+b^2)(m^2 +n^2)≥( ma +nb)^2$，于是$5(m^2 +n^2)≥5^2$，故$sqrt{m^2+n^2}≥sqrt{5}$，当且仅当$egin{cases}frac{a}{m}=frac{b}{n},\a^2+b^2=5,\ma+nb=5,\m^2+n^2=5end{cases}$$Leftrightarrow a=m,n=b$时,等号成立，所以$sqrt{m^2+n^2}$的最小值为$sqrt{5}$。