一、极坐标系的定义及和直角坐标的互化

1、极坐标系

在平面内取一个顶点$O$，叫做极点；自极点$O$引一条射线$Ox$，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系。

2、点的极坐标

设$M$是平面内一点，极点$O$与点$M$的距离$|OM|$叫做点$M$的极径，记为$ρ$；以极轴$Ox$为始边，射线$OM$为终边的角$xOM$叫做点$M$的极角，记为$θ$。有序数对$$叫做点$M$的极坐标，记为$M(ρ，θ)$。(一般地，不作特殊说明时，认为$ρ≥0，θ$可取任意实数)

建立极坐标后，给定$ρ$和$θ$，就可以在平面内唯一确定点$M$；反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的极坐标$$。

3、特殊点的极坐标

极点$O$的极坐标为(0,$θ$)($θinmathbf{R}$)；

极轴上的点的极坐标为($ρ$,0)($ρ___0$)；

极轴反向延长线上的点的极坐标为($ρ$,$π$)($ρ___0$)。

注：一般地，极坐标$$与$表示同一个点。和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示；如果规定$ρ≥0,0≤θ≤2π$，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标$$表示的点也是唯一确定的。

4、极坐标和直角坐标的互化

互化的前提条件

极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；

极坐标系中的极轴与直角坐标系中的$x$轴的正半轴重合；

在两种坐标系中取相同的长度单位。

互化公式

设$M$是平面内任意一点，它的直角坐标是$(x,y)$，极坐标是$$，

则有：$x=ρcos θ,y=ρsin θ$。

$ρ^2=x^2+y^2, an θ=frac{y}{x}(x≠0)$。

把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法。一般只要取$θin[0,2θ)$就可以了

拓展：在极坐标系中，$O$为极点，$P_1(ρ_1，θ_1),P(ρ_2，θ_2)$，其中$ρ_1，ρ_2___0,θ_1,θ_2in[0,2pi)$,则$|P_1P_2|=sqrt{ρ^2_1+ρ^2_2-2ρ_1ρ_2cos(θ_1-θ_2)}$,$S_{△P_1OP_2}=frac{1}{2}|sin (θ_1-θ_2)|$。

二、极坐标系的相关例题

圆$C$的极坐标方程为$ρ=2cosθ $ ,则圆心$C$的极坐标为___

A．(2，0)

B．(1，$pi$)

C．(1，0)

D．(2，$pi$)

答案：C解析：圆$ρ^2-2ρcos θ=0,(x-1)^2+y^2=1$，圆心，所以圆心的极坐标为，故选C。