一、取整函数的定义和性质

1、取整函数

函数$y=left[ x ight]$称为取整函数，也称高斯函数。其中不超过实数$x$的最大整数称为$x$的整数部分，记作$left[ x ight]$。该函数被广泛应用于数论，函数绘图和计算机领域。

记对应法则为$f：xmapsto$不超过$x$的最大整数。

显然，$f$是定义在全体实数集$mathbf{R}$的函数，而函数值是离散的，这个函数即为取整函数。为了方便，用$left[ x ight]$表示不超过$x$的最大整数，所以函数$f$又可记为$y=f(x)=left[ x ight]$，$x∈mathbf{R}$。一般有$left[ x ight]leqslant x___left[ x ight]+1$。

2、取整函数的性质

性质1：对任意$x∈mathbf{R}$，均有$x-1___left[ x ight]leqslant x___left[ x ight]+1$。

性质2：对任意$x∈mathbf{R}$，$y=left[ x ight]$的值域为$mathbf{Z}$。

性质3：取整函数(高斯函数）是一个不减函数， 即$forall x_1，x_2∈mathbf{R}$，$x_1___x_2Rightarrowleft[x_1 ight]leqslant left[ x_2 ight]$。

性质4：若$n∈mathbf{Z}，x∈mathbf{R}$，则有$left[ x+n ight]$=$n+left[ x ight]$，${x+n}$=${ x}$，后一式子表明$y={x}$是一个以任意非零整数为周期的周期函数。

性质5：若$x，y∈mathbf{R}$，则有$left[ x ight]$+$left[ y ight]leqslant$$left[ x+y ight]$$leqslant$$left[ x ight]$+$left[ y ight]$+1。

性质6：若$n∈mathbf{N^+}$，$x∈mathbf{R}$，则$left[ nx ight]$$geqslant$$nleft[ x ight]$。

性质7：若$n∈mathbf{N^+}$，$x$___ 1，则在区间$left[ 1,x ight]$内恰好有$left[ frac{x}{n} ight]$个整数是$n$的倍数。

性质8：设$p$为质数，$n∈mathbf{N^+}$，则$p$在$n！$的质因数分解式中的幂次为$p(n!)$=$left[ frac{n}{p} ight]$+$left[ frac{n}{p^2} ight]$+$cdots$

性质9：厄米特恒等式

$left[ x ight]$+$left[ x+frac{1}{n} ight]$+$left[ x+ frac{2}{n} ight]$+$cdots$+$left[ x+frac{n-1}{n} ight]$=$left[ nx ight]$

$egin{Bmatrix} x end{Bmatrix}$+$egin{Bmatrix} x+dfrac{1}{n} end{Bmatrix}$+$egin{Bmatrix} x+dfrac{2}{n} end{Bmatrix}$+$cdots$+$egin{Bmatrix} x+dfrac{n-1}{n} end{Bmatrix}$=$egin{Bmatrix} nx end{Bmatrix}$=$frac{n-1}{2}$

二、取整函数的相关例题

近代世界三大数学家之一高斯发明了取整函数，设$x∈mathbf{R}$，用$left[ x ight]$表示不超过$x$的最大整数，则$y=left[ x ight]$称为取整函数，例如：$left[ -3.5 ight]$=-4，$left[ 2.1 ight]$=2，已知函数$f(x)$=$frac{3^{x+1}}{1+3^x}-frac{1}{3}$，则$y=left[ f(x) ight]$的值域是___

A．${0,1}$

B． ${-1,1}$

C．${-1,0,1}$

D．${-1,0,1,2}$

答案：D

解析：$f(x)$=$frac{3^{x+1}}{1+3^x}$-$frac{1}{3}$=$frac{3(3^x+1)-3}{1+3^x}$-$frac{1}{3}$

=3-$frac{3}{1+3^x}$-$frac{1}{3}$ =$frac{8}{3}$-$frac{3}{1+3^x}∈$$left( -frac{1}{3} ,frac{8}{3} ight)$。∴当$x∈left( -frac{1}{3} ,0 ight)$时，$y=left[ f(x) ight]$=-1；当$x∈left[0,1 ight)$时，$y=left[ f(x) ight]$=0；当$x∈left[1,2 ight)$时，$y=left[ f(x) ight]$=1；当$x∈left[2,frac{8}{3} ight)$时，$y=left[ f(x) ight]$=2。∴函数$y=left[ f(x) ight]$的值域是${ -1,0,1,2}$。故选：D。