一、平面向量定理和向量共线定理

1、向量共线定理

向量$oldsymbol a$$(oldsymbol a≠0)$与$oldsymbol b$共线，当且仅当有唯一一个实数$λ$，使$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

注：定理中$oldsymbol a≠0$不能漏掉。若$oldsymbol a$=$oldsymbol b$=$oldsymbol 0$，则实数$λ$可以是任意实数；若$oldsymbol a$=$mathbf{0}$，$oldsymbol b$≠$mathbf{0}$，则不存在实数$λ$，使得$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

对任意两个向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，若存在不全为0的实数对，使$oldsymbol aλ+μoldsymbol b$=$oldsymbol 0$，则$oldsymbol a$与$oldsymbol b$共线。

向量共线定理主要用来证明两条直线平行、三点共线等问题。

2、平面向量基本定理

如果$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量$oldsymbol a$，有且只有一对实数$λ_1$，$λ_2$，使$oldsymbol a$=$λ_1 oldsymbol e_1+λ_2oldsymbol e_2$。把不共线的向量$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

定理的推广：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一。

注：由于零向量与任何向量都共线，所以零向量不能作为基底。

如果对于一组基底$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$，有$oldsymbol a$=$λ_1oldsymbol e_1+λ_2oldsymbol e_2$=$μ_1oldsymbol e_1+μ_2oldsymbol e_2$，则可以得到$λ_1=μ_1$，且$λ_2=μ_2$。

二、平面向量定理的相关例题

在平行四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别为边$AD$，$CD$的中点，$AF$与$BE$相交于点$M$，则$overrightarrow{A M}$=___

A．$frac{3}{4}overrightarrow{A B}+frac{1}{4}overrightarrow{A E}$

B．$frac{4}{5}overrightarrow{A B}+frac{1}{5}overrightarrow{A E}$

C．$frac{1}{4}overrightarrow{A B}+frac{3}{4}overrightarrow{A E}$

D．$frac{1}{5}overrightarrow{A B}+frac{4}{5}overrightarrow{A E}$

答案：D

解析：设$overrightarrow{A M}$=$toverrightarrow{A F}$，$overrightarrow{E M}$=$soverrightarrow{E B}$，则$overrightarrow{A M}$=$toverrightarrow{A F}$=$tleft( overrightarrow{A D}+frac{1}{2}overrightarrow{A B} ight)$=$overrightarrow{A E}$$+overrightarrow{E M}$，所以$tleft( overrightarrow{A D}+frac{1}{2}overrightarrow{A B} ight)$=$overrightarrow{A E}$$+soverrightarrow{E B}$=$frac{1}{2}overrightarrow{A D}$$+s(overrightarrow{A B}-overrightarrow{A E})$，整理得$toverrightarrow{A D}$$+frac{t}{2}overrightarrow{A B}$=$left(frac{1}{2}-frac{s}{2} ight)overrightarrow{A D}$$+soverrightarrow{A B}$，因为$overrightarrow{A D}$，$overrightarrow{A B}$不共线，所以$egin{cases}t=frac{1}{2}-frac{s}{2},\frac{t}{2}=s,end{cases}$得$s=frac{1}{5}$，所以$overrightarrow{A M}$$-overrightarrow{A E}$=$overrightarrow{E M}$=$frac{1}{5}overrightarrow{E B}$=$frac{1}{5}(overrightarrow{A B}-overrightarrow{A E})$，即$overrightarrow{A M}$=$frac{1}{5}overrightarrow{A B}$$+frac{4}{5}overrightarrow{A E}$，故选D。