一、面面垂直的判定定理和一般性质

1、二面角

半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。

二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的表示方法

①棱为$AB$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—AB—β$。

②棱为$l$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—l—β$。

③棱为$AB$，若在$α$，$β$面内分别取不在棱上的点$P$，$Q$，这个二面角可记作二面角$P—AB—Q$。

二面角的平面角

在二面角$α—l—β$的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面$α$和$β$内分别作垂直于棱$l$的射线$OA$和$OB$，则射线$OA$和$OB$构成的∠$AOB$叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角的平面角的取值范围为$[0°,180°]$。

2、平面与平面垂直

定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作$α⊥β$。

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

平面与平面垂直的一般性质和结论

如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面。

如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内。

如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。

二、面面垂直的判定定理的相关例题

在正四面体$P-ABC$中，$D$、$E$、$F$分别是$AB$、$BC$、$CA$的中点，下面四个结论中不成立的是___

A．$BC$ $∥$ 平面$PDF$

B．$DF⊥$ 平面$PAE$

C．平面$PDF⊥$ 平面$ABC$

D．平面$PAE⊥$ 平面$ABC$

答案：C

解析：对于A选项，∵$D$、$F$分别为$AB$、$AC$的中点，∴$BC∥DF$，∵$BC otsubset$平面$PDF$，$DFsubset$平面$PDF$，∴$BC$ $∥$ 平面$PDF$，A选项正确；对于B选项，∵$△ABC$是等边三角形，$E$为$BC$的中点，∴$AE⊥BC$，同理$PE⊥BC$，∵$AE∩PE=E$，∴$BC⊥$平面$PAE$，∵$DF∥BC$，∴$DF⊥$平面$PAE$ ， B选项正确；对于C选项，设$DF∩AE=G$ ，连接$PG$，假设平面$PDF⊥$ 平面$ABC$成立，∵$D$、$F$分别为$AB$、$AC$的中点，∴$DF∥BC$，且$DF∩AE=G$，则$G$为$AE$的中点，由B选项知，$DF⊥$平面$PAE$ ，∵$PGsubset$平面$PAE$，$PG⊥DF$，若平面$PDF⊥$ 平面$ABC$，由于平面$PDF∩$ 平面$ABC=DF$，$PGsubset$平面$PDF$，∴$PG⊥$ 平面$ABC$，过点$P$作$PO⊥$平面$ABC$，重足为点$O$，则$O$为等边$△ABC$的中心，则$AO=frac{2}{3}AE≠AG$，矛盾，所以，平面$PDF⊥$ 平面$ABC$不成立，C选项错误；对于D选项，由B选项知，$BC⊥$平面$PAE$，∵$BCsubset$平面$ABC$，∴平面$PAE⊥$平面$ABC$，D选项正确。故选C。